Last Updated on 2022-12-15 by Clay
隨著時代的進步，現在人們已經可以在舒適的家裡進行量子電腦的程式設計了。但是話說回來，我們究竟要創造什麼呢？什麼是量子程式設計呢？說到底，什麼又是量子電腦呢？
這些問題的答案，其實可以通過與傳統數位電腦的比較來得到。
當然，也並不是所有人對於傳統電腦的工作原理都十分清楚。所以在本篇文章當中，我們來稍微了解一下這些設備背後的工作原理，並為了過渡到量子運算（quantum computing），我們也會使用一些基於量子的工具（其實也就是 Qiskit）來實作一個半加法器（half adder）。
為了使用 Qiskit 套件，我們需要確認已經閱讀過：
並已經使用過 Python、同時在 Python 環境中也安裝好了 Qiskit 套件。
我們的實作內容分成以下幾個部分：
- 將資訊拆分為 bits（位元）
- 使用圖（diagram）來計算
- 建立第一個量子電路
- 範例：建立一個加法器（Adder）電路
1. 將資訊拆分為 bits（位元）
首先我們得知道『位元』（bits）是什麼。簡單來說，這世界上所有的東西，我們都可以用最單純的兩個符號來表示：0 或是 1。在傳統數位電路中是以電位高低來區分，低電位代表 0、高電位代表 1。
使用 0 和 1 來表示資訊又是怎麼辦到的呢？一個簡單的例子就是數字（number）。
我們日常所使用的數字，都是基於十進制來表示的。例如 9213 這個數字，我們可以表達成：
如果這樣表示不出來十進制的意思，我們再換成另外一種表達方式：
我們都能很清楚地理解這個表達式的意思。但是在 0 和 1 的二進制表示方式中，9213 是表示成 10001111111101。
這串數字什麼什麼意思呢？
其實跟十進制相同，每一個位置 n 的數字，都會乘以 2 的 n-1 次方。然後在數值等於 2 時往前進位。
例如：
1 可以表示成 001（前面的 0 可以省略）
2 可以表示成 010
3 可以表示成 011
4 可以表示成 100
... 依此類推
而不僅僅是數字。無論是文字或標點符號，你都可以找到一串代表他們的二進制編碼。
這就是二進制在數位世界中工作的模樣。我們可以透過這些位元資料來儲存文件、圖片、音訊...... 等等各式各樣的檔案。
就像傳統數位電腦一般，量子電腦也是基於同樣的方式來運作，不過使用的卻是一種被稱為量子位元（qubits）的特殊位元。在本篇文章中，我們並不會深入探討量子力學，所以我們就假設我們能像操作傳統位元一般操作量子位元。
2. 使用圖（diagram）來計算
無論是位元還是量子位元，我們都需要操作它們，好讓我們的輸入（inputs）變成我們所需要的輸出（outputs）。而想要表示這中間的過程，一個常見的方法是電路圖（circuit diagram）。
在下圖中，左邊是我們的輸入、右邊則是我們的輸出。中間的操作被稱為門（gate），如果有其他常見的翻譯名稱，歡迎隨時告訴我，我不確定中文翻譯，因為大二大三上的電路課程都是原文書，加上那時候的我混到爆炸... QwQ
不過上圖是一個經典的、位元為主的傳統電腦的電路圖，在這裡可以不用確實了解這個電路的細節（至少這裡還不用），只是為了和量子電路做出一個比較。
下面是使用量子電路呈現出一樣的操作過程。
在下面的小節，我們將會解釋該如何建立這樣的電路。最後，你會知道該如何建立上圖的電路、它做了什麼、以及它為什麼很有用。
3. 建立第一個量子電路
在電路中，我們通常做三件事情：
- 把輸入編碼（encoding），亦即把輸入表示成數值型態
- 做實際的運算
- 擷取出輸出結果
在第一個量子電路中，我們來製作關於最後一個步驟：輸出結果。
我們來建立一個量子電路，它有 8 個量子位元（qubits）以及 8 個輸出（outputs）。
首先，匯入所有會用到的套件。
from qiskit import QuantumCircuit, assemble, Aer
from qiskit.visualization import plot_histogram
然後建立擁有 8 個量子位元的量子電路。
qc_output = QuantumCircuit(8)
qc_output.draw(initial_state=True)
Output（現在我們還什麼都看不到）:
如果我們希望能看到一些結果，我們可以使用名為 measure_all() 的操作來做到。在測量中，每個量子位元都會得到一個特定值。
qc_output.measure_all()
qc_output.draw(initial_state=True)
Output:
我們可以看到，量子位元一開始總是被初始化為 0，這也是因為我們並沒有設定它們。同時，全 0 這是我們看到它們的最終結果，因為我們中間沒有任何操作。
所以我們最終的結果是：00000000。
而如果我們多次運行該電路，並把結果繪製成直方圖（histogram），我們也會不斷得到 00000000 這一結果。
sim = Aer.get_backend("aer_simulator")
result = sim.run(qc_output).result()
counts = result.get_counts()
plot_histogram(counts)
Output:
當然，在這段程式中，我們所選用的後端（backend）並不是真正的量子電腦，而是由傳統電腦所模擬的。模擬只有可能模擬少量的量子位元（大約 30 個），但在建立第一個電路時仍是十分好用的工具。
如果要在真實的設備上運行，可以直接將程式碼中的 sim = Aer.get_backend("aer_simulator") aer_simulator 替換成你所要使用的裝置。
4. 建立一個加法器（Adder）
現在我們來看如何替一段輸入進行編碼（encode），而我們需要的，是 NOT Gate。在傳統電腦中，它就像是翻牌一樣，把 1 變成 0、把 0 變成 1。
在量子位元中，這是一個被稱之為 x 的操作，它完成的工作跟 NOT 一樣。
qc_encode = QuantumCircuit(8)
qc_encode.x(7)
qc_encode.draw()
Output:
然後我們再次提取運作之後的結果。
qc_encode.measure_all()
qc_encode.draw()
Output:
接著是畫出模擬之後的直方圖結果。
sim = Aer.get_backend("aer_simulator")
result = sim.run(qc_encode).result()
counts = result.get_counts()
plot_histogram(counts)
Output:
現在的話，電路產生的結果都是 10000000。通過翻轉了第 7 個位置的量子位元，現在我們擁有了數字 128（2^7）。
接下來，我們做點簡單的加法。在十進制的世界中，加法對我們來說十分容易。比方說下面的題目：
9213 + 1854 = ?
我們可能會從右到左逐項加起。 3+4=7、1+5=6、2+8=10（進位）、9+1+1=11（進位）...... 最後我們會得到 11067 這個數字。
當然，在二進制的世界中其實也是一樣。
我們從右到左，逐項加起。只要知道 1 + 1 之後會進位，這個加法對我們而言就沒有難度。而在二進制的加法中，一共也只有四種變化：
0+0 = 00 (in decimal, this is 0+0=0)
0+1 = 01 (in decimal, this is 0+1=1)
1+0 = 01 (in decimal, this is 1+0=1)
1+1 = 10 (in decimal, this is 1+1=2)
這被稱為 half adder（半加法器）。我們可以通過電腦來實現它，之後就能利用它做各式各樣的事情。
現在，我們透過 Qiskit 來完成一個半加法器的電路。這將包含編碼後的輸入、計算的電路、以及最終提取結果的部分。
量子位元上的的 q0 和 q1 是我們的輸入，而最右側的 q2 和 q3 則是我們的輸出。我們要做的計算其實很簡單，只有四種情況：
- 0 + 0 = 00
- 0 + 1 = 01
- 1 + 0 = 01
- 1 + 1 = 10
我們會注意到最右邊的結果，在輸入都相同的情況下永遠都是 0；而在輸入不同的情況下則皆為 1。利用我們觀察到的這個狀況，我們可以使用一種叫做 XOR gate 的裝置來完成。在量子電路中，XOR 的工作是由一種叫做 controlled-NOT gate 的裝置來完成，由於名稱很長，所以也稱為 CNOT。
我們來繪制 CNOT 在電路中的模樣：
qc_cnot = QuantumCircuit(2)
qc_cnot.cx(0, 1)
qc_cnot.draw()
Output:
我們會發現它需要使用到兩個量子位元，這是因為上方的小點是用來接受輸入，下方帶有 X 的圖示則是做為目標量子位元（target qubit）。
簡單來說，CNOT 做了兩件事：
- 它會檢查兩個輸入是否一致
- 它會把是否一致的結果儲存在目標量子位元（target qubit）（要注意的是，CNOT的兩個輸入若相同是儲存 0、不相同是儲存 0）
我們來看一個實際使用 CNOT 的例子。
qc = QuantumCircuit(2, 2)
qc.x(0)
qc.cx(0, 1)
qc.measure(0, 0)
qc.measure(1, 1)
qc.draw()
Output:
還記得我們說量子位元預設都是 0 嗎？所以我們可以想像，在 q_0 的量子位元上有一個 NOT gate，所以經過翻轉，q_0 的值會是 1。
接著，我們在 q_1 量子位元上看到了 CNOT，它會檢查到 q_0 和 q_1 並不相同，覆蓋 q_1 為 1。
後面兩個 M 符號的裝置是測量的裝置，只是為了擷取 q_0 和 q_1 的輸出的。
好了，那麼我們的最終輸出會是什麼呢？其實剛剛都已經算好了，q_0 是 1、q_1 也是 1。我們來完善一下程式碼來繪製出結果吧。
qc = QuantumCircuit(2, 2)
qc.x(1)
qc.cx(0, 1)
qc.measure(0, 0)
qc.measure(1, 1)
qc.draw()
sim = Aer.get_backend("aer_simulator")
result = sim.run(qc).result()
counts = result.get_counts()
plot_histogram(counts)
Output:
輸出結果是 11，跟我們設計得一模一樣。
如果我們今天把 q_0 上的 NOT gate 拿掉的話，結果會變成什麼樣子呢？顯然，q_0 和 q_1 都是 0，然後在 CNOT 中由於檢查到兩個輸入相同，所以還是覆蓋掉 q_1 為 0，也就是說一切都沒有變化，最終輸出跟初始值一樣會是 00。
qc = QuantumCircuit(2, 2)
qc.cx(0, 1)
qc.measure(0, 0)
qc.measure(1, 1)
qc.draw()
sim = Aer.get_backend("aer_simulator")
result = sim.run(qc).result()
counts = result.get_counts()
plot_histogram(counts)
Output:
但是我們應該不想要覆蓋掉我們的 q_1，而是希望儲存在另外一個位元上，好用來完成 XOR 的功能，（因為這就是半加法器最右邊的位元所需要的操作）我們該怎麼辦呢？答案是用上兩個 CNOT。
qc_ha = QuantumCircuit(4, 2)
# Encode inputs in qubits 0 and 1
qc_ha.x(0) # For a=0, remove this line. For a=1, leave it.
qc_ha.x(1) # For b=0, remove this line. For b=1, leave it.
qc_ha.barrier()
# Use cnots to write the XOR of the inputs on qubit 2
qc_ha.cx(0, 2)
qc_ha.cx(1, 2)
qc_ha.barrier()
# Extract outputs
qc_ha.measure(2, 0) # Extract XOR value
qc_ha.measure(3, 1)
qc_ha.draw()
Output:
這個電路圖包含了一個很簡單的邏輯操作：只要輸入（q_0 和 q_1）同時和 q_2 不同，那麼 CNOT 翻轉位元就會執行兩次，等於什麼都沒變 q_2 還是 0；但若是都與 q_2 相同，等於完全不會翻轉，所以 q_2 還是 0。
qc_ha = QuantumCircuit(4, 2)
# Encode inputs in qubits 0 and 1
qc_ha.x(0) # For a=0, remove this line. For a=1, leave it.
qc_ha.x(1) # For b=0, remove this line. For b=1, leave it.
qc_ha.barrier()
# Use cnots to write the XOR of the inputs on qubit 2
qc_ha.cx(0, 2)
qc_ha.cx(1, 2)
qc_ha.barrier()
# Extract outputs
qc_ha.measure(2, 0) # Extract XOR value
qc_ha.measure(3, 1)
sim = Aer.get_backend("aer_simulator")
result = sim.run(qc_ha).result()
counts = result.get_counts()
plot_histogram(counts)
Output:
這意味著除了輸入的兩個位元都不同，否則我們的輸出永遠都是 00。只有輸入不同時，我們的輸出才會是 01。大家可以自由地試試看。
目前為止，我們的半加法器已經完成了最右邊的位元的運算了。剩下的其實就是進位（carry）了。
進位的條件只有一個，就是輸入兩者都是 1 的情況。所以我們需要有一個機制去檢查兩個輸入都是 1。
這個新的門叫做 Toffoli，但是以傳統電路的說法來看，它實現的功能無非就是 AND gate。（AND 就是兩者都要是 1 才會輸出 1）
在 Qiskit 中，是使用 ccx() 來實作。
qc_ha = QuantumCircuit(4, 2)
# Encode inputs in qubits 0 and 1
qc_ha.x(0) # For a=0, remove this line. For a=1, leave it.
qc_ha.x(1) # For b=0, remove this line. For b=1, leave it.
qc_ha.barrier()
# Use cnots to write the XOR of the inputs on qubit 2
qc_ha.cx(0, 2)
qc_ha.cx(1, 2)
qc_ha.barrier()
# Use ccx to write the AND of the inputs on qubit 3
qc_ha.ccx(0, 1, 3)
qc_ha.barrier()
# Extract outputs
qc_ha.measure(2, 0) # Extract XOR value
qc_ha.measure(3, 1)
qc_ha.draw()
Output:
這是電路圖的模樣，接著我們直接繪製出結果。
qc_ha = QuantumCircuit(4, 2)
# Encode inputs in qubits 0 and 1
qc_ha.x(0) # For a=0, remove this line. For a=1, leave it.
qc_ha.x(1) # For b=0, remove this line. For b=1, leave it.
qc_ha.barrier()
# Use cnots to write the XOR of the inputs on qubit 2
qc_ha.cx(0, 2)
qc_ha.cx(1, 2)
qc_ha.barrier()
# Use ccx to write the AND of the inputs on qubit 3
qc_ha.ccx(0, 1, 3)
qc_ha.barrier()
# Extract outputs
qc_ha.measure(2, 0) # Extract XOR value
qc_ha.measure(3, 1)
sim = Aer.get_backend("aer_simulator")
result = sim.run(qc_ha).result()
counts = result.get_counts()
plot_histogram(counts)
Output:
終於完成了半加法器了！只要熟悉使用 NOT、CNOT、Toffoli，我們就可以建立程式來完成任意尺寸的輸入資料集。