什麼是 KL 散度（Divergence）？
我們經常會在機器學習中聽到 『KL 散度』（Kullback Libler Divergence）這個詞，而 KL 散度其實就是評估兩個機率分佈 P 和 Q 之間『差異性』的一個評估值。
KL 散度有許多不同的別名，在每個領域可能都有屬於自己的名字，比如說相對熵、資訊增益、資訊散度…… 等等稱呼。但本質上是一樣的東西。
對於離散機率分佈，KL 散度的公式如下：
對於連續機率分布，KL 散度的公式如下：
其中，P(i) 跟 Q(i) 都是機率分佈在 i 點上的機率，log 則是自然對數。
KL 散度有以下幾個特性：
- 非負性：即使在 P 等於 Q 的情況，D(P||Q) = 0
- 非對稱性：D(P||Q) 不等於 D(Q||P)，一個是 P 為基準、一個是以 Q 為基準
- 資訊增益（information gain）：如果一段資訊（先不管是什麼資訊）我們使用 Q 來編碼，那麼換成 P 來編碼時，我們可以平均減少多少 bits 的資訊，這就是 information gain
講了這麼多，可能又有點抽象，我來舉一個實際應用的例子好了（我碩班時寫作業還寫過這東西… 但那應該稱不上實際應用）：
不知道大家是否聽過 PPO 呢？有陣子有許多人在討論 ChatGPT 是否是使用 PPO 的方式訓練而成的，但是結論了我忘記了。
PPO 的全名是 Proximal Policy Optimization，是一種在深度強化學習中的策略優化方法。這種方法的主要目標是解決策略梯度方法中一個常見的問題：在更新策略的時候，可能會使得新的策略與原來的策略差距過大，進而導致學習的不穩定。
在 PPO 中，這種問題是通過添加一個額外的損失項來解決的，這個損失項衡量的就是新策略與舊策略的 KL 散度。通過最小化這個 KL 散度，我們可以確保在每一步更新中，新策略不會與舊策略差距過大，從而提高學習的穩定性。
可以想像成，原本的模型 A 已經很會做 X 任務了，但現在我們要讓 A 模型繼續學習 Y 任務 —— 然而，如果我們什麼額外的資訊都不約束，最終我們訓練在 Y 任務上的 A’ 模型就會變得不太像 A 模型了。
所以我們在訓練 A’ 模型時，我們時時刻刻將 A’ 模型的輸出與 A 模型計算 KL 散度，試圖在最小化 KL 散度的同時又學習下一個任務 Y。如此一來我們就不會讓 A’ 模型距離 A 太遙遠。
不知道這樣一來，有沒有比較感受到 KL 散度的光輝了呢？
程式實作
如果我們想要實際寫寫看計算 KL 散度的程式，可以參考以下 Python 的寫法：
import numpy as np
from scipy.stats import norm
from scipy.special import kl_div
# Assume we have two normal distributions: N(0, 1) and N(1, 2)
mu1, sigma1 = 0, 1
mu2, sigma2 = 1, 2
# Generate an array of values between -10 and 10
x = np.linspace(-10, 10, 1000)
# Calculate the probability density of the two distributions at these points
p = norm.pdf(x, mu1, sigma1)
q = norm.pdf(x, mu2, sigma2)
# Use the kl_div function from scipy to calculate KL divergence
kl_divergence = kl_div(p, q)
# Since KL divergence is a sum of the results for each point, we need to add them up
kl_divergence = np.sum(kl_divergence)
print(kl_divergence)
Output:
22.135034999282027
上方的 Python 程式碼計算了兩個常態分佈之間的 KL 散度，可以看到兩個分佈之間的差異相當地大。
在這裡使用到了 scipy 函式庫中的 kl_div 函式，他可以直接計算兩個離散機率分佈之間的 KL 散度，但是這只是一個近似值，因為真正的 KL 散度需要對整個機率分佈做積分。
References
- How to Calculate the KL Divergence for Machine Learning
- Understanding KL Divergence – Towards Data Science